引用课程：http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_ML16.html

回顾

第二篇中神奇宝贝的例子：

可以看出越复杂的model 再测试集上的性能并不是越好

这篇要讨论的就是 error 来自什么地方？

error主要的来源有两个，bias（偏差） 和 variance（方差）

估测

假设上图为神奇宝贝cp值的真正方程，当然这只有Niantic（制作《Pokemon Go》的游戏公司）知道。从训练集中可以找到真实方程$\hat{f}$ 的近似方程 $f^{*}$。

估测bias 和 variance

估测变量 x 的平均值

• 假设$x$的平均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^{2}$

估测平均值怎么做呢？

• 首先拿到N个样品点：${x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{N}}$
• 计算平均值得到$m$, $m = \frac{1}{N} \sum_{n} x^{n} \neq \mu$

但是如果计算很多组的m ，然后求m的期望

$E[m] = E[\frac{1}{N} \sum_{n} x^{n}] = \frac{1}{N}\sum_{n}E[x^{n}] = \mu$

这个估计呢是无偏估计（unbiased）。

然后m分布对于 $\mu$ 的离散程度（方差）：

$Var[m] = \frac{\sigma^{2}}{N}$

这主要取决于N，下图可看出N越小越离散

估测变量 x 的方差

首先用刚才的方法估测m，

$m = \frac{1}{N} \sum_{n} x^{n} \neq \mu$

然后再做下面计算：

$s^{2} = \frac{1}{N} \sum_{n}(x^{n} - m)^{2}$

就可以用$s^{2}$来估测 $\sigma^{2}$

这个估计是有偏估计（biased）,

求 $s^{2}$的期望值：

$E[s^{2}] = \frac{N - 1}{N} \sigma^{2} \neq \sigma^{2}$

用靶心来说明一下bias和variance的影响

靶心为真正的方程 $\hat{f}$ ，深蓝色点为$f^{*}$ ，是实验求得的方程。求$f^{*}$的期望值$\bar{f} = E[f^{*}]$，即图中浅蓝色的点。

$\bar{f}$ 和 $\hat{f}$之间的距离就是误差 bias，而$\bar{f}$ 和 $f^{*}$ 之间的距离就是误差 variance。4幅图的对比观察两个误差的影响。

bias就是射击时瞄准的误差，本来应该是瞄准靶心，但bias就造成瞄准准心的误差；而variance就是虽然瞄准在 $\bar{f}$，但是射不准，总是射在 $\bar{f}$ 的周围。

为什么会有很多的 f星?

讨论系列02中的案例：这里假设是在平行宇宙中，抓了不同的神奇宝贝

用同一个model，在不同的训练集中找到的 $f^{*}$就是不一样的

这就像在靶心上射击，进行了很多组（一组多次）。现在需要知道它的散布是怎样的，将100个宇宙中的model画出来

不同的数据集之前什么都有可能发生—||

考虑不同model的variance

一次model的variance就比较小的，也就是是比较集中，离散程度较小。而5次model 的 variance就比较大，同理散布比较广，离散程度较大。

所以用比较简单的model，variance是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的model，variance就很大，散布比较开。

这也是因为简单的model受到不同训练集的影响是比较小的。

考虑不同model的 bias

这里没办法知道真正的 $\hat{f}$，所以假设图中的那条黑色曲线为真正的 $\hat{f}$

结果可视化，一次平均的 $\bar{f}$没有5次的好，虽然5次的整体结果离散程度很高。

一次model的bias比较大，而复杂的5次model，bias就比较小。

直观的解释：简单的model函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的model函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的，就可能得到真正的 $\bar{f}$。

bias v.s. variance

将系列02中的误差拆分为bias何variance。简单model（左边）是bias比较大造成的error，这种情况叫做 Underfitting（欠拟合），而复杂model（右边）是variance过大造成的error，这种情况叫做Overfitting（过拟合）。

怎么判断？

分析

• 如果model没有很好的fit训练集，就是bias过大，也就是Underfitting
• 如果model很好的fit训练集，即再训练集上得到很小的error，但在测试集上得到大的error，这意味着model可能是variance比较大，就是Overfitting。

对于Underfitting和Overfitting，是用不同的方式来处理的

bias大，Underfitting

此时应该重新设计model。因为之前的函数集里面可能根本没有包含$\hat{f}$。可以：

• 将更多的feature加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。
• 或者考虑更多次幂、更复杂的model。

如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。

variance大，Overfitting

简单粗暴的方法：More data

但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整（Regularization）。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。

选择model

• 现在在bias和variance之间就需要一个权衡
• 想选择的model，可以平衡bias和variance产生的error，使得总error最小
• 但是下面这件事最好不要做：

用训练集训练不同的model，然后在测试集上比较error，model3的error比较小，就认为model3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上error是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的error都是大于0.5的。

Cross Validation（交叉验证）

图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。Cross Validation 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练model，然后再验证集上比较，确实出最好的model之后（比如model3），再用全部的训练集训练model3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的error都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整model，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。（心里难受啊，大学数模的时候就回去调，来回痛苦折腾）

上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办，可以用下面的方法。

N-fold Cross Validation（N-折交叉验证）

将训练集分成N份，比如分成3份。

比如在三份中训练结果Average Error是model1最好，再用全部训练集训练model1。（貌似数模也干过，当年都是莫名其妙的分，想想当年数模的时候都根本来不及看是为什么，就是一股脑上去做00oo00）